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Preconceitos

Posted by Wesley Marcos on 13:23
Vamos quebrar alguns preconceitos que dificultam o estudo da Matemática, que, aliás, dificultam aprender qualquer coisa. Aqui o foco será a Matemática, mas serve para qualquer área de conhecimento. Vários fatores contribuem para acharmos que Matemática é difícil de aprender, em resumo, que é “chato”. Basicamente, são dois pontos essenciais que fazem ter esse pensamento: não querer se esforçar, já pensando que vai ser difícil; e não conhecer de fato a Matemática. Aquele é o ponto de partida, enquanto este é o ponto de chegada.
Tendo bastante vivência em sala de aula, vou expor como funciona uma aula “básica” no ambiente escolar. Considerando um assunto novo, o professor apresenta um conteúdo oralmente, usando como recursos o quadro-negro, ora escrevendo, ora explicando, demonstrando, e resolvendo alguns exercícios. Praticamente um monólogo. O professor também pode se utilizar de multimídia, com vídeos ou apresentação de powerpoint para dinamizar a aula; e há casos, quando o tempo permite – digo isso, porque devemos considerar a matriz curricular e as dificuldades em sala – o professor apresenta situações interdisciplinares, práticas, e até mesmo música, paródia, etc. 

Enfim, não importa o método que o professor use para mostrar o conteúdo, há um momento que é mais importante, o ápice do aprendizado: a prática. O primordial é fazer, executar os exercícios para verificar se foi assimilada a aula apresentada. Não há compreensão completa do que foi apresentado se não fizer os exercícios, especialmente na disciplina de Matemática. A aula do professor é só o “pontapé” do conhecimento, e não todo o assunto. Um determinado conteúdo não tem fim quando o professor acaba de falar, continua nos exercícios, na parte prática do que se iniciou com a explicação.

Entra em questão o primeiro ponto: “ahhh mas é difícil”. Antes de iniciar a execução dos exercícios, os alunos já começam com a ideia de que é extremamente difícil, impossível de se fazer. Com esse pessimismo, fazem a atividade de qualquer jeito, não param para pensar e rever o que o professor explicou; não consultam o livro para ver o que usar e como usar. Vamos pegar, por exemplo, uma aula de geometria: o professor demonstra como calcular a área do quadrado e do retângulo e, por fim, define a fórmula. Depois passa os exercícios para os alunos confirmarem o que se aprendeu. Mas logo de imediato alguns alunos já perguntam: “como é que faz professor?”. Claro, há também a falta de atenção, mas muitas vezes é o pensamento de que é “muito difícil” que prevalece, e os desanima. E assim não tentam, não pesquisam, não perguntam e não recorrem a ajuda.

Então vamos quebrar esse preconceito: Imagine a Matemática como sendo uma pessoa, mas você está de um lado e ela do outro. Entre você e a Matemática tem um muro enorme, grosso e aparentemente intransponível. Mas então eu estou afirmando que é difícil mesmo? NÃO. A Matemática está do outro lado, linda, mas para chegar até ela depende de você! Aqui eu cito a professora Katarine Jordão do blog Educar com Sapiência: “não é brincando que se aprende”. Aprender exige esforço, trabalho duro. É preciso empreender tempo, se esforçar, exercitar a virtude da Fortaleza. Enfrente a situação. Diante onde você tem um exercício, e a própria palavra lembra movimento, ação. Escale esse “muro”, tente ultrapassa-lo e isso nos levará para o nosso segundo ponto: conhecer a maravilhosa Matemática. Enquanto você se “exercita”, você adquire uma bagagem de conhecimento riquíssima! Você faz descobertas importantes, detalhes que passam despercebidos.

Para finalizar, conto-lhes uma antiga tradição oriental que ouvi esses dia: as mulheres de um determinado lugar, quando se casam, tem que morar na casa da sogra por um tempo, e servi-la em tudo como uma empregada. Depois de um tempo uma mulher procurou um curandeiro, pois não aguentava mais essa situação. O curandeiro lhe deu uma erva venenosa e falou pra que colocasse todos os dias no chá da sogra, mas que perdesse um tempo conversando com a mesma para ter certeza que ela tomava o chá por completo. Então todos os dias a mulher preparava o chá, colocava a erva, e ficava conversando com a sogra para ver se ela tomaria tudo. Depois de um tempo, a mulher passou a gostar da sogra e ficou desesperada pois ela tinha tomado muito veneno. Assim ela procurou o curandeiro querendo reverter a situação e, para sua surpresa o mesmo lhe disse para não se preocupar, pois a erva não tinha veneno de verdade. O veneno estava na mulher que, por preconceito, não gostava da sua sogra sem conhece-la de verdade. 

Moral da história: se esforce para conhecer a Matemática. Tenha Fortaleza, se anime, se empenhe. Diante de um exercício, pesquise, pense, tente. A satisfação plena está no caminho percorrido. E quando chegar, aproveite!

Termino o texto com um provérbio chinês: “tudo que ouço, esqueço; tudo que vejo, relembro; tudo que faço, aprendo”.


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Tira dúvidas - Física (Termologia I)

Posted by Wesley Marcos on 12:38
"Um termômetro mal graduado na escala Celsius assinala 2°C para a fusão da água e 107°C para sua ebulição. Sendo θE o valor lido no termômetro mal graduado e θC o valor correto da temperatura, a função de correção do valor lido é...?"

Para resolvermos essa questão, podemos trabalhar com proporção matemática, e neste caso, como vamos fazer um comparativo do termômetro mal graduado com um termômetro correto, iremos encontrar uma expressão relacionando θC com θE.

Vamos fazer a proporção dos dois termômetros analisando o esquema a seguir:



Fazemos a proporção relacionando "pedaço pequeno" da escala correta com "pedaço pequeno" da escala errada; e "pedaço grande" da escala correta e "pedaço grande" da escala errada, nessa sequência.

Para medirmos os pedaços, fazemos:
  • Pedaço pequeno da escala correta: θC-0 
  • Pedaço grande da escala correta: 100-0 
  • Pedaço pequeno da escala errada: θE-2 
  • Pedaço grande da escala correta: 107-2 

Dessa forma, obtemos a seguinte expressão matemática:

$$\frac{\theta_C-0}{100-0}=\frac{\theta_E-2}{107-2}$$

Desenvolvendo a expressão acima, teremos:

$$\frac{\theta_C}{100}=\frac{\theta_E-2}{105}$$

Podemos simplificar os denominadores por 5. Dividindo 100:5 = 20; e 105:5 = 21. Teremos a expressão:

$$\frac{\theta_C}{20}=\frac{\theta_E-2}{21}$$

Como disse acima, o objetivo é encontrar uma expressão relacionando θC com θE. Dessa forma, o 20 que está dividindo o θC, "passamos" multiplicando com o θE-2. Para isso, e para ficar uma expressão mais bonita, colocamos um parêntese no (θE-2). Finalmente, teremos a expressão:

$$\theta_C=\frac{20 \cdot (\theta_E-2)}{21}$$

ou

$$\theta_C=\frac{20}{21}(\theta_E-2)$$

Fica ai toda a resolução do problema. Quem tiver alguma dúvida em algum passo do desenvolvimento, pode entrar em contato comigo.

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LaTeX no Blogspot

Posted by Wesley Marcos on 08:59
Quem tem um blog relacionado à ciências exatas (matemática, física, química) geralmente tem uma grande dificuldade para colocar fórmulas nas postagens. É necessário usar um bom editor de fórmulas (o Word, p.ex. tem um bom editor de fórmulas: Equation), gerar como imagem no paint, para depois colocar no blog. E isso ainda pode deixar uma aparência ruim ao blog. Uma solução ótima é gerar as fórmulas dentro do próprio blog usando comandos LaTeX.

Vamos ver a diferença:

Gerado no word, e salvado como imagem no paint.




Usando comandos LaTeX
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Para colocar no seu blog, siga as etapas abaixo:
1. Copie o script abaixo:


2. Abra o painel do Blogger (Blogspot), e vá em Modelo do blog:

3. Clique no botão "Editar HTML"

4. Faça uma busca pela tag <head>. Utilize Ctrl + F e cole logo abaixo o script acima. Pronto! Os códigos LaTeX funcionará no seu blog.


Para mais informações e ajudas de como usar os comandos, segue alguns links:







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Infinito e Conjuntos

Posted by Wesley Marcos on 15:43 in , , ,
Há muito tempo, desde o século V a.C. os matemáticos se debatiam sobre o Infinito. Até então o conceito de infinito era subjetivo. Zenão de Eleia, por exemplo, que debatia os conceitos através de absurdo, formulou um paradoxo que se chamava Aquiles e a tartaruga

"Aquiles corre contra uma tartaruga, sendo que a tartaruga começa dez metros adiantada, mas Aquiles corre ao dobro da velocidade da tartaruga. Quando Aquiles chega ao ponto onde a tartaruga começou, esta já avançou cinco metros. Quando Aquiles chega a esse ponto, a tartaruga voltou a adiantar-se 2,5 metros, e assim indefinidamente: Aquiles nunca consegue apanhar a tartaruga."

O conceito de infinito foi se tornar mais consistente na modernidade, por volta de 1867-1871, com os trabalhos de Cantor e Dedekind, com a Teoria dos Números, e finalmente com o artigo de Cantor em 1874. Basicamente, eles definiram "vários tipos" de Infinito, ou seja, definiu conjuntos de números infinitos, por suas peculiaridades, que são os Naturais, os Inteiros, os Racionais, Irracionais, Reais e Complexo.
Para entender um pouco, e aprender sobre o assunto, tem um jogo da Abril Educação interessante com os conceitos e com a prática. Clique AQUI para jogar (link direto), ou acesse a página de jogos do meu blog AQUI, e procure por Conjuntos Numéricos.

Enfim, desejo bons estudos com muita diversão!

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Partilha dos chocolates

Posted by Wesley Marcos on 05:06 in , ,
Uma certa vez, época de alegria de comemoração da ressurreição de Jesus Cristo, onde costuma-se dar chocolates, especificamente ovos de chocolate para representar o início de uma nova vida, um pai, bastante generoso, resolveu dar 35 barras de chocolate para seus três filhos. Ele não os repartiu igualmente, sendo feita da seguinte forma: metade dos chocolates para o filho mais velho; um terço para o filho do meio; e a nona parte para o filho mais novo. Fez assim, de acordo com a idade de cada um, e para testá-los com a matemática.
Daí inicia-se uma discussão acirrada, e começam a gritar:
- Não aceito!! Não pode ser assim...
- Isto é um roubo! Também não aceito.
- Com certeza eu também não aceito. Vamos falar com papai!
O vizinho, bastante curioso, escutou a conversa, e resolveu se intrometer. E perguntou:
- O que está acontecendo?
- Papai nos deu chocolates para repartirmos - esclarece o filho mais velho - porém repartiu proporcionalmente à idade de cada um. Ele nos deu 35 barras de chocolate, e para mim, o mais velho, deveria ficar com a metade, o que dá 17 e meio; para ele - o filho do meio - deveria ficar com a terça parte, que dá 11 e mais algum pouco; e o menorzinho ai ficaria com a nona parte, que também não dá exato.
- E acontece que não queremos abrir as embalagens, e quebrar os chocolates! - diz o filho do meio.
- E daí não sabemos como repartir corretamente os chocolate - concluiu o mais novo.
O vizinho pensou um pouco, foi na casa dele e voltou com 1 barra de chocolate na mão, e propôs o seguinte:
- Vamos fazer o seguinte: vamos acrescentar aos 35 chocolates essa minha barra de chocolate, ficando 36 no total agora. Assim, você, o filho mais velho, fica com a metade de 36, que é 18. Não podes reclamar, pois antes receberia 17 e meio, e agora vai receber mais. O do meio agora vai receber a terça parte de 36, que é 12, e da mesma forma, vai receber mais. Finalmente, o filho mais novo, que vai receber a nona parte de 36, vai ganhar 4 chocolates, também mais do receberia antes.
E sabiamente, concluiu:
- Vejam bem agora. Somando os chocolates que cada um recebeu, ou seja, 18 mais 12 e mais 4, dá 34 chocolates. Dessa forma, pego o meu chocolate de volta, e como recompensa, pego o chocolate que sobrou nessa partilha.
Os três irmãos se entreolharam, e contentes com a partilha, agradeceram ao vizinho, e se tornaram amigos!

Adaptado por Wesley Marcos de Fonte: Malba Tahan, Seleções - Os melhores contos – Conquista, Rio, 1963

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64 = 65 ?

Posted by Wesley Marcos on 09:32 in , ,
Veja a imagem e veja que realmente 64 = 65! É muito interessante:



Mas calma: brincadeirinha. Este é um sofisma matemático muito interessante. Sofisma é uma falácia - chama-se a uma refutação aparente, mediante os quais se quer defender algo falso e confundir o contraditor. De certa forma procede da má fé.

O 64 e 65 tem uma relação na Sequência de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... ).

Pegando o termo 3 (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... ), seus adjacentes são 2 e 5. Fazendo o termo 3² = 9; e fazendo o produto de 2 por 5 (2x5 = 10), temos a diferença deste com aquele igual a 1 (10 - 9 = 1).

Da mesma forma, pegando o termo 8 (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... ), seus adjacentes são 5 e 13. Fazendo o termo 8² = 64; e fazendo o produto de 5 por 13 (5x13 = 65), temos a diferença deste com aquele igual a 1 (65 - 64 = 1).

Este último fato poderia ser apresentado na forma geométrica da figura acima, porém é um sofisma. O truque consiste em apresentar essas duas imagens como esboços porque, dessa forma, a pessoa não percebe que os lados na parte central da segunda ilustração não se encaixam perfeitamente - a ilustração acima é precisa o suficiente para que ninguém erre!

Esse desencaixe é o bastante para deixar uma lacuna (um vazio bem no meio) de área 1, que é justamente o que aumenta os 64 iniciais até os 65 finais. Se notar bem (mas bem mesmo), a linha central é um pouquinho grossa.

O interessante seria você mesmo desenvolver a figura numa folha de papel (quadriculado), desenhar exatamente igual, recortar, e tentar fazer a montagem de 8x8 para 5x13, como na figura. Façam, e me digam o resultado!


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Posted by Wesley Marcos on 02:30
Cursos Online 24 Horas



Acesse minha página de Marketing para ver outras dicas de cursos on-line!

1 - Rápido e Prático
Fazer Cursos Online é uma forma rápida e prática de aprender. Rápido, pois é possível iniciar um curso em qualquer dia, sem muita burocracia, e prático devido à facilidade de utilização do serviço.

2 - Valores Acessíveis
Os custos para se fazer os cursos são mais baratos, devido à grande demanda pela flexibilização, sem perder a qualidade. No caso do Curso 24 horas, os valores variam entre R$ 20,00 e R$ 75,00. 

3 - Flexibilidade
O processo é totalmente flexível: Flexibilidade de Local, Flexibilidade de Horário, Flexibilidade de Duração do Curso. Estude de onde preferir, da sua casa, trabalho, faculdade, lan-house ou de qualquer computador; faça nos seus horários disponíveis e conclua os cursos em quanto tempo desejar. Tudo é feito de acordo com seu ritmo. Você faz seus prazos e horários.

4 - Não necessita se locomover
Fazendo cursos Online você não gasta com locomoção até uma escola presencial, não perde tempo no trânsito. Isso significa mais tempo livre para estudar, resultando em um melhor aproveitamento.

5 - Banco de Currículos
Diversas empresas procuram banco de currículos das empresas online, e solicitam indicações de alunos para vagas de emprego. Isso acontece, quando o curso online tem certificação, e associação à órgãos como a ABED.

6 - Certificado Válido em Todo o Brasil
Confira se o curso online oferece certificado registrado. O Cursos 24 Horas, por exemplo, tem certificado válido em todo o Brasil e em vários outros países; pode ser utilizado em faculdades, empresas públicas e privadas, concursos e provas de título, entre outros.

7 - Empresa Mantenedora da ABED
Confira se o curso online está registrado na ABED. O Cursos 24 Horas é uma empresa mantenedora da ABED - Associação Brasileira de Educação a Distância. Nosso nome e logo é exibido na página de Mantenedores da ABED.

8 - Funcionários treinados conosco
Muitas empresas solicitam treinamento para os funcionários em cursos online.

9 - Seu Currículo fica Atualizado
Todos os cursos podem ser incluídos em seu currículo. As pesquisas comprovam que manter o currículo atualizado é uma das formas mais eficientes para ser promovido, conseguir um novo emprego, ou até mesmo evitar uma demissão do emprego atual.

10 - Professores Altamente Qualificados
Uma equipe de professores altamente qualificados fica à disposição para atender aos alunos, corrigindo exercícios, enviando material adicional e tirando todas as dúvidas que possam surgir durante o curso.

Fonte: http://www.cursos24horas.com.br/parceiro.asp?cod=promocao90928&url=10motivos.asp




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Educador Multiplicador

Posted by Wesley Marcos on 10:13
É com muita satisfação que venho através deste canal de comunicação (Blog) informar que sou um Educador Multiplicador, através do site http://www.educadoresmultiplicadores.com.br/, aumentando assim - ou melhor, multiplicando - para mim e para todos, o conhecimento da matemática e afins.



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Regra de três simples: "é pau pra toda obra"

Posted by Wesley Marcos on 16:54 in , ,
É unânime que todos já escutaram a expressão "é pau pra toda obra". Está no dito da cultura popular quando quer se referir a alguém que serve de ajuda para tantas outras coisas. Podemos usar ainda "Severino" (as pessoas que têm esse nome, me perdoem), "quebra galho", e tantas outras. Eis portanto que pego emprestado tal expressão para um conteúdo que faz jus uso da mesma: Regra de três simples.

Usamos esta regra, ainda que mentalmente, para calcularmos várias coisas, tais como: conversão de dólar para real (e vice-versa), conversão de unidades de medidas (de kg para gramas, de litro para ml, etc), conversão de tempo (1 hora = 60 minutos, 1 mês = 30 dias, etc), e muitos outros a citar. Aplicamos mentalmente, sem darmos conta que estamos usando, isto porque a regra de três nada mais é do que uma forma prática de calcularmos razão e proporção, e por isso, o uso mental é mais rápido e fácil (digamos até natural).

Razão significa divisão, no caso, entre dois números, e estes números tem que ter alguma relação entre eles. Por este motivo, eles devem ter a mesma unidade de medida. Para exemplificar, pensemos em uma sala de aula com 5 meninos e 10 meninas. A razão entre o número de meninos e o número de meninas é 0,5; pois 5/10 = 1/2 = 0,5. Nota-se que a "unidade de medida" é a mesma, por se tratar apenas de quantidade de pessoas.

Daí entra a proporção, que é na verdade a igualdade entre duas razões. Analisando o mesmo exemplo, vamos supor que vou ter mais 5 meninos na classe, porém gostaria de manter a razão (ou seja, 0,5). Quantas meninas teria que colocar na sala? Assim, você pode pensar que, como estou dobrando a quantidade de meninos, então devo dobrar também a quantidade de meninas (raciocínio motivado pela proporção), ou seja, devo colocar mais 10 meninas, totalizando 20. Vamos verificar então se a razão se manteve. 5+5 = 10 meninos. Dobrando a quantidade de meninas: 10x2 = 20. A nova razão então é 10/20 = 5/10 = 1/2 = 0,5.

Agora, vamos analisar usando o método prático da Regra de três simples.


Coloquei este post para demonstrar uma situação prática do dia-a-dia, por isto não explorei muito o conteúdo, só demonstrei o básico dos cálculos pois chegou até mim uma dúvida, que coloco na íntegra: 

"Na minha empresa recebemos produtos perecíveis, que só devemos aceitar os que tenham no mínimo, do dia da sua chegada na empresa até o vencimento, 60% de vida útil. Por exemplo: uma Margarina foi fabricada no dia 14/05/13 e chegou hoje, dia 16/05/13, e vence no dia 18/05/13. Devo receber? Como devo fazer o cálculo?"

Coloquei intervalo de datas pequenos para pensarmos mentalmente. Assim, hoje é dia 16/05, e a margarina foi fabricada 2 dias antes, e vence 2 dias depois. A margarina tem validade de 4 dias, e como estou recebendo com 2 dias depois da sua fabricação, então está com 50% de vida útil.

Assim, um primeiro ponto de referência é quantos dias de validade o produto tem, pois ele vai ser o "todo", o 100% de perda, caso receba o produto na data do vencimento. Um segundo ponto de referência é quantos dias se passaram da data de fabricação até o dia que recebo o produto. E assim, com a regra de três simples, podemos achar a porcentagem de perda. Vejamos:


Com base nesses cálculos eu fiz um programa em que você insere a data de entrada do produto, a data de fabricação e a data de vencimento. Ele "subtrai" as datas de vencimento pelas de fabricacao para achar o total de dias correspondente à validade. Também subtrai a data de entrada do produto pela data de fabricacao, para achar quantos dias já se passaram desde a sua fabricação, e, se o resultado for maior que 60%, me retorna informando se devo ou não dar entrada no produto.

Segue neste link o download do programa demostrando essa situação prática. Para quem quiser ver os cálculos, e como pensei em fazer o programa, tenho a solução em planilha de excel.

Com a tecnologia que temos atualmente, podemos maximizar nosso tempo, facilitar nossa vida. Mas acima disso, temos que saber o que tem por trás disso tudo. Mais importante do que o programa, é interessante sabermos como se faz. 

A Matemática é nossa amiga, e está ai para nos ajudar. Vamos ser amigos dela também. Vamos aprender a aprender Matemática.

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Cilindro equilátero - resposta de dúvida

Posted by Wesley Marcos on 04:05
Considerando um cilindro equilátero cujo o raio da base mede 4cm.
Calcule: a) altura da base b) a altura c) a area lateral d) a area total e) o volume
Em se tratando de um cilindro equilátero, podemos afirmar que a altura do cilindro é duas vezes o raio da base, ou ainda, altura é igual ao diâmetro da base (h = 2r = D). Veja o esquema:


Assim, com o raio medindo 4cm, respondemos a letra b) altura = 2x4cm = 8cm

Agora, para calcularmos a área lateral, imagine abrindo um rolo de papel higiênico (vazio, só a parte marrom). Ao abrirmos, teremos um retângulo. Só que no caso do cilindro, a base desse retângulo é o comprimento da base (comprimento do círculo, ou seja, o tamanho da borda do círculo), e a altura coincide com a altura do cilindro. Veja esquema:
O comprimento do círculo (que vai ser a 'base' do retângulo - área lateral aberta) é medido por C = 2.pi.r. Assim, C = 2x3,1415x4 = 25,132cm. Dessa forma, a letra c) a área lateral do cilindro vai ser Al = C x h --> Al = 25,132x8 = 201,056cm².

A base é um círculo, e a área de um círculo é calculada por Ab = pi.r². Assim, a área da base é Ab = 3,1415x4² --> Ab = 3,1415x16 --> Ab = 50,264cm²

Calculado a área da base, e a área lateral, a letra d) área total vai ser a soma de todas as áreas do cilindro, ou seja, base (área da base) + "corpo" (área lateral) + tampa (que é igual à área da base). Assim, At = 50,264 + 201,056 + 50,264 --> At = 301,584cm².

Por fim, o volume de qualquer corpo regular é calculado por área da base x altura --> V = Ab x h. Assim, a letra e) volume do cilindro é V = 50,264 x 8 --> V = 402,112cm³.

Nota: não compreendi a letra a) altura da base, uma vez que a base não tem altura. No caso, pode ser o raio, o diâmetro, o comprimento ou a área da base. Qualquer uma dessas opções foram calculadas.

No mais, espero ter ajudado à pessoa que me pediu ajuda. Quaisquer mais dúvidas, entrem em contato.

Estou à disposição para qualquer outra dúvida.

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FELIZ NATAL !

Posted by Wesley Marcos on 14:50 in ,
Gostaria de desejar um Feliz e Santo Natal a todos os meus leitores!

E para que seu natal esteja mais lindo, dou uma dica matemática de como decorar sua árvore de Natal! É isso mesmo... dificuldades em arrumar sua árvore de natal? A matemática ajuda...

Nicole Wrightman e Alex Craig – membros da Sociedade de Matemática na Universidade de Sheffield, Reino Unido – descobriram uma equação matemática que resolve os problemas na decoração de uma árvore de natal.

Em parceria com a rede de lojas Debenhams, os alunos aceitaram o desafio de criar essa fórmula. Segundo o site da Universidade, Nicole disse que “as fórmulas demoraram cerca de duas horas a serem feitas”.

Este projeto contém uma espécie de calculadora (veja link da calc) que, a partir do tamanho da árvore, apresenta os valores necessários para a decoração. Através da altura da árvore, os cálculos mostram quantas bolas serão necessárias, os centímetros da estrela, da fita e das luzes para montar a sua árvore.

Esta fórmula tem sido utilizada nas lojas da Debenhams, de forma a que os clientes escolhem todos os itens necessários para a decoração da sua árvore, de acordo com os cálculos. Nicole Wrightman afirma também no site: “Esperemos que as fórmulas tornem uma preparação mais fácil para o Natal”.

Eis a fórmula:


Assim, podemos concluir que a matemática é uma coisa maravilhosa. Aproveitem!

E mais uma vez: FELIZ NATAL!

Fonte:

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Blog afiliado à UBM

Posted by Wesley Marcos on 04:03
Recebi um convite honrado para participar da União dos Blogs de Matemática, uma iniciativa que promove o desenvolvimento e a divulgação de páginas de qualidade sobre o assunto. São ideias como essa, partidas de profissionais interessados, que estimulam o crescimento cultural/educacional do país e ajudam a propagar materiais gratuitos, originais e de alto nível. Agradecemos desde já ao Prof. Paulo Sérgio e aos demais membros da UBM por essa oportunidade. 


Acesse http://ubmatematica.blogspot.com/ para mais informações!

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Desenvolvimento da matemática

Posted by Wesley Marcos on 04:56 in , ,

Do ensinamento puramente útil para a matemática por si mesma

As deficiências da matemática começa-se da cultura pré-helênica, marcada por um ensinamento puramente utilitário. Os papiros continham casos de problemas específicos, ausência de distinções entre resultados exatos e aproximados e não se investigava o resultado, não existia a prova.
Com o declínio da atividade intelectual do Egito e da Mesopotâmia, a cultura grega estava crescendo. Porém os helênicos não tinham tradição matemática ou literária, mas tiveram muita disposição a aprender. Assim, pelas atividades dos mercadores, o ensinamento da matemática e o alfabeto se desenvolveram. E na época de Tales e Pitágoras é onde a matemática começa a ser estudada por si mesma, e não por "utilidade doméstica". Eles aprenderam geometria no Egito, tiveram contato com tabelas e instrumentos astronômicos na Babilônia. A proposição do teorema de Tales foi desenvolvida durante suas viagens à Babilônia. Dessa forma, por tradição, atribui-se uma demonstração do teorema; assim Tales foi concebido como o primeiro matemático "originador da organização dedutiva da geometria". 
Seguidamente temos Pitágoras, considerado um profeta e místico. Ele fundou a escola pitagórica, politicamente conservadora com um código de conduta rígida, com muitos ideais absurdos, mas tinha uma notável característica voltada para os estudos da matemática e filosofia, sendo estes a base moral para a conduta. 
Podemos concluir que o problema dos pioneiros da época é quanto ao registro das descobertas. Chegou até nós pela tradição oral, mas muita coisa torna-se lenda pelo fato de não ter nada registrado especificamente.
Analisando os dias atuais, com avanços de computadores e os meios de comunicação, como a internet, esses registros se tornaram mais seguros, a troca de informações efetivamente mais rápidas, e a análise computacional facilita assim a descoberta de temas extremamente interessantes nos campos das ciências.

by Wesley Marcos e Thiago Henrique
adaptado por Wesley Marcos

Referências Bibliográficas:
  • GOMIDE, Elza F. A História da Matemática.2ª Edição. São Paulo, SP. Editora Edgard Blucher LTDA, 1996.
  • SPINELLI, Miguel. Filósofos Pré-Socráticos. Primeiros Mestres da Filosofia e da Ciência Grega. 2ª Ed., Porto Alegre: Edipucrs, 2003.
  • Site http://pt.wikipedia.org/wiki/Pit%C3%A1goras extraído no dia 17/032010.

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Empuxo - resposta de dúvida

Posted by Wesley Marcos on 13:34 in , ,
Em resposta à uma questão enviado pelo meu plantão de dúvidas, segue abaixo a resposta...


"
Um cubo de madeira com 10cm de aresta está imerso num recipiente que contém óleo e água. A face inferior do cubo está situado 2,0cm abaixo da superfície de separação dos líquidos (água em baixo e óleo em cima). Sendo a densidade do óleo 0,60g/cm³ e a água 1,0g/cm³. Analise as afirmações:

(   ) - O VOLUME IMERSO DO CORPO É DE 800 cm³
(   ) - O EMPUXO PELA ÁGUA VALE 1,6N
(   ) - O EMPUXO EXERCIDO PELO ÓLEO VALE 2N
(   ) - A MASSA DO CUBO VALE 680G
(   ) - A DENSIDADE DO CUBO E 0,68G/CM³
"

Analisando a questão, temos o esquema da seguinte forma:


A primeira informação subentendida que temos é que o corpo está em equilíbrio. Pela lei da física, se um corpo está em equilíbrio em um líquido, a densidade do corpo é igual à densidade do fluído. E ainda podemos afirmar que o peso do corpo é igual ao empuxo, ou seja:

(I) P = E | (II) m . g = d' . g . V' + d'' . g . V'' (P = peso do cubo; E = empuxo total; d' = densidade do óleo; V' = volume deslocado no óleo; d'' = densidade da água; V'' = volume descolado na água).

Fazendo por partes, vamos calcular o volume deslocado no óleo. Neste fluído, o cubo está com 8cm em altura (pois 2cm está na água), 10cm em profundidade e 10cm de largura. Assim, o volume descolocado é:

V' = 8 . 10 . 10 = 800cm³

O cubo na água está com 2m em altura, 10cm em profundidade e 10cm de largura. Assim, o volume descolado na água é:

V'' = 2 . 10 . 10 = 200cm³

Dividindo por g a equação (II) nos dois membros, teremos a equação da seguinte forma:

m  = d' . V' + d'' . V''

Substituindo os valores, teremos:

m = 0,60 . 800 + 1 . 200 | m = 480 + 200 | m = 680g. Assim, teremos a afirmativa:
"( V ) - A MASSA DO CUBO VALE 680G"

Para calcularmos a densidade do corpo, basta usarmos a fórmula de densidade d = m/V (V = volume do corpo; V = 10 . 10 . 10 = 1000cm³):

d = 680g / 1000cm³ | d = 0,68g/cm³. Assim, teremos a afirmativa:
"( V ) - A DENSIDADE DO CUBO E 0,68G/CM³"

Para calcularmos o empuxo da água e do óleo, temos que mudar as unidades da densidade e do volume, para a unidade do empuxo ficar em N. Assim, o empuxo do óleo é:

V = 800cm³ = 0,0008m³ (desloca a vírgula 6 casas para a esquerda)
d' = 0,60g/cm³ = 0,60.10³kg/m³
g = 10 m/s²
Logo, E = 0,60 . 10³ . 10 . 8 . 10^-4 = 4,8N. Assim, teremos a afirmativa:
"( F ) - O EMPUXO EXERCIDO PELO ÓLEO VALE 2N"


O empuxo da água é:

V = 200cm³ = 0,0002m³ (desloca a vírgula 6 casas para a esquerda)
d' = 1g/cm³ = 1.10³kg/m³
g = 10 m/s²
Logo, E = 1 . 10³ . 10 . 2 . 10^-4 = 2N. Assim, teremos a afirmativa:
"( F ) - O EMPUXO EXERCIDO PELO ÁGUA VALE 1,6N"

Finalmente, para a afirmativa:
"( F ) - O VOLUME IMERSO DO CORPO É DE 800 cm³ ", pois o volume imerso é o volume total, ou seja, 1000cm³, ainda porque não afirmou em qual líquido se queria o volume da imersão.

Fonte: http://www.sofisica.com.br/conteudos/Mecanica/EstaticaeHidrostatica/empuxo.php

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Unidades de Medidas

Posted by Wesley Marcos on 09:22 in , ,
Desde a antiguidade, com a criação e utilização de números, os povos foram criando suas próprias unidades de medidas, e portanto, cada um possuía a sua unidade de medida padrão (referência). Para exemplificar este fato, pensemos nas unidades de medidas imperiais: légua, milha, furlong, corrente, rod, jarda, pé, polegada, mil. Tem esse nome porque a medida estava relacionado à alguma coisa do rei ou império, por exemplo, 10 pés de comprimento de um móvel era a medida de 10 pés do próprio rei. Assim foi necessário criar um padrão de medida único, e assim, em 1791, época da Revolução Francesa, criou-se o SISTEMA MÉTRICO DECIMAL.

O Sistema Métrico Decimal tem como unidade padrão/referência o Metro, que vem do grego métron e significa "o que mede". No Brasil o metro foi adotado oficialmente em 1928. A partir do metro, temos seus múltiplos e submúltiplos, cujos nomes são formados com o uso dos prefixos: quilo, hecto, deca, deci, centi e mili. Abaixo uma tabela referência para relacionar, a partir do metro, o kilômetro, centímetro, etc.





Daí vem uma pergunta: Por que devo converter a unidade de medida? O principal motivo é facilitar a escrita numérica, que significa escrever 10km ao invés de 10.000m, ou talvez escrever 1m ao invés de 1000mm.

Agora vamos entender a tabela. Como pode-se notar, o km, hm e dam são múltiplos do metro. O decâmetro é 10x (10 vezes) mais que o metro; o hectômetro é 100x (100 vezes) mais que o metro; e o quilômetro é 1000x (1000 vezes) mais que o metro. Assim, você pode fazer uma regra de três simples para converter as unidades, ou pensar em questão de múltiplos. Por exemplo, você tem um terreno que tem de um lado 1,5km. Se o kilômetro é 1000x mais que o 1 metro, então multiplicando 1,5x1000 = 1500m, e portanto 1,5km é 1500m. Na prática, você anda com a vírgula 3 casas para direita:
Nota: zeros à direita da vírgula não valem nada. Portanto pode ficar subentendido.


Outro exemplo, de forma contrária: você tem um móvel de 17,51m. Se 1 metro é 10x menos que o metro, então dividimos 17,51/10 = 1,751dam, e portanto 17,51m é 1,751dam.

Também podemos relacionar quilômetro com hectômetro, hectômetro com decâmetro, etc. De forma análoga, fazemos essas transformações com os submúltiplos do metro.

Depois de entendido como funciona e qual a relação das unidades do Sistema Métrico Decimal entre si, podemos pensar de forma mais prática. Temos o seguinte esquema:

Assim, primeiro você deve olhar qual a sua unidade (se ela está em km, hm, cm, etc). Depois para qual unidade quer transformar. A grosso modo, se você "vai para direita", então você multiplica x10 quantos "quadrados" andar (ou ainda, desloca-se a vírgula para direita quantos quadrados andar), e se você "vai para esquerda", você divide :10 quantos "quadrados" andar (ou ainda, desloca-se a vírgula para esquerda quantos quadrados andar).

Por exemplo:
Transformar 15,53hm para cm. Assim, vamos deslocar 4 quadrados para a direita. Portanto, você multiplica 15,53x10x10x10x10 = 15,53x10000 = 155300cm. Dessa forma, eu andei com a vírgula quatro casas para direita.

163059,8745mm para km. Assim, vamos deslocar 6 quadrados para esquerda. Portanto, você divide 163059,8745/1000000 = 0,1630598745km. Dessa forma, eu andei 6 casas com a vírgula para esquerda, e foi necessário colocar o zero para completar, já que não tinha mais unidade para a esquerda.

Para finalizar, esses são os múltiplos e submúltiplos mais comuns. Temos ainda:


Múltiplos do metro:
Submúltiplos do metro:

Quem ainda tiver dúvidas a respeito dessas transformações, pode entrar em contato comigo! Não deixe a dúvida te perturbar. Estou a inteira disposição para sanar suas dúvidas matemáticas.

P.S.: ainda tem transformações de metros quadrados e metros cúbicos, que postarei em outra oportunidade.

Referência:
www.somatematica.com.br
pt.wikipedia.org

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Xadrez

Posted by Wesley Marcos on 11:32 in , ,
O Xadrez é muito interessante, a começar pela sua história, e de como foi criado. É claro que existem diversas versões. Mas em se tratando de ensino da Matemática, prefiro este seguinte conto:
"Numa província indiana chamada Taligana havia um poderoso rajá que havia perdido o filho em batalha. O rajá estava em constante depressão e passou a descuidar-se de si e do reino.
Certo dia o rajá foi visitado por Sessa, que apresentou ao rajá um tabuleiro com 64 casas brancas e negras com diversas peças que representava a infantaria, a cavalaria, os carros de combate, os condutores de elefantes, o principal vizir e o próprio rajá. Sessa explicou que a prática do jogo daria conforto espiritual ao rajá, que finalmente encontraria a cura para a sua depressão, o que realmente ocorreu.
O rajá, agradecido, insistiu para que Sessa aceitasse uma recompensa por sua invenção e o brâmane pediu simplesmente um grão de trigo para a primeira casa do tabuleiro, dois para a segunda, quatro para a terceira, oito para a quarta e assim sucessivamente até a última casa. Espantado com a modéstia do pedido, o rajá ordenou que fosse pago imediatamente a quantia em grãos que fora pedida.
Depois que foram feitos os cálculos, os sábios do rajá ficaram atônitos com o resultado que a quantidade grãos havia atingido, pois, segundo eles, toda a safra do reino durante 2.000 anos não seriam suficientes para cobri-la. Impressionado com a inteligência do brâmane, o rajá o convidou para ser o principal vizir do reino, sendo perdoado por Sessa de sua grande dívida em trigo."
É interessante, porque com esta história, pelo o que o Sessa pediu, pode-se apresentar potenciação para o aluno, ou função exponencial. Em resumo, ele pediu 2 grãos para a primeira casa, 2² para a segunda casa, 2³ para a terceira casa, e assim por diante. No final, a soma disso tudo dá 18.446.744.073.709.551.616 grãos.
Isso é só uma amostra que o xadrez pode proporcionar, além da evolução natural do raciocínio lógico. Ainda pode-se trabalhar muitas coisas, como geometria plana. Apesar do tabuleiro ter quadrados, o caminho que uma peça percorrer, por exemplo, pode ser a de um triângulo.
Então, devemos considerar o jogo de Xadrez nas escolas, e nas aulas de Matemática! Além de lúdico, desenvolve a aprendizagem.

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Fórmula de Bhaskara

Posted by Wesley Marcos on 19:43 in , , ,
Quem conhece o famoso Bhaskara? Penso que todo mundo o conhece, ou pelo menos tenha o ouvido falar, pois a sua fórmula é conteúdo obrigatório na grade curricular de Matemática, para achar os valores de X em uma equação do 2° Grau. A dificuldade dos alunos e a falta de interesse em Matemática se dá em parte pelo ensino das Equações Polinomiais, em especial pela Equação do 2° Grau, pois acaba por se tornar muito teórica.
O interessante é que Bhaskara não descobriu ou desenvolveu esta fórmula. Na verdade, as fórmulas surgem na Matemática 400 anos depois da sua morte, e portanto, a fórmula não é dele! Na sua época, e possivelmente muito antes, os indianos usavam regras ("descrição por extenso dos procedimentos para resolver um problema") em forma de poesias, que iam descrevendo as operações a realizar. Em 500 d.c., Aryabhata e alguns indianos usavam a seguinte expressão para Equação do Segundo Grau:
"Multiplique ambos os membros da equação pelo número que vale quatro vezes o coeficiente do quadrado e some a eles um número igual ao quadrado do coeficiente original da incógnita. A solução desejada é a raiz quadrada disso".
Quem "descobriu" (coloco entre aspas pois, como disse, as notações surgiram 400 anos após a morte de Bhaskara) a fórmula foi Sridhara, 100 anos antes de Bhaskara. Portanto, já era do seu conhecimento, e ele contribuiu mesmo com a matemática foi com as equações indeterminadas do 2° Grau.
Da poesia acima ("Multiplique ambos os membros..."), o fundamento usado para obter esta fórmula foi buscar uma forma de reduzir a equação do segundo grau a uma do primeiro grau, através da extração de raízes quadradas de ambos os membros da mesma. Isso ajuda a entender a "cara" da tal equação. Quem decorou a fórmula, sabe que "X é igual a menos b mais ou menos raiz quadrada de b ao quadrado menos quatro vezes a vezes c e tudo dividido por dois a". Bom, para entender melhor, vamos passo a passo.
Comecemos pela definição. Seja a equação ax² + bx + c = 0, com x pertence ao conjunto do números reais.
Agora, se dividirmos toda a equação por a (não nulo), teremos:
x² + (b/a)x + (c/a) = 0 -----> x² + (b/a)x = - (c/a).
Antes de continuar, devemos lembrar que equação é como uma balança de peso (daquelas antigas). O que tem à esquerda da igualdade é igual ao que tem à direita da igualdade. Assim, podemos somar à esquerda e à direita qualquer coisa (sendo a mesma coisa em ambos os lado), que não alterará a equação, ou seja, a igualdade da equação. Assim, podemos somar (b/2a)² em ambos os membros:
x² + (b/a)x + (b/2a)² = -c/a + (b/2a)².
Fizemos isso para se obter do lado esquerdo um quadrado perfeito (para mais detalhes, entre em contato).
Assim, desenvolvendo o 2° membro da equação, e fazendo o quadrado perfeito no lado esquerdo (1° membro), teremos:
[x+(b/2a)]² = (b² - 4ac) / 4a²
Agora, tirando a raiz quadrada em ambos os membros da equação, teremos (nota: R[.....] é raiz quadrada):
x + (b/2a) = +R[(b²-4ac) / 4a²] ou x + (b/2a) = -R[(b²-4ac) / 4a²]. Desenvolvendo, teremos:
Mas no final das contas, você deve estar se perguntando: Para que serve Equação do 2° Grau?
Pois bem, analisando seu resultado no gráfico (as equações e funções são estudados pelos gráficos, e vice-versa), pode ser aplicado em várias fatos. O lançamento de um projétil (bala de canhão) descreve o trajeto de uma equação do segundo grau. Assim, dependendo do ângulo que fizer, pode-se saber aonde a bala vai cair. Neste caso, da onde a bala sai é um dos resultados da equação, e aonde ela cai, é o outro resultado de X. E ainda, como a equação descreve uma parábola, pode-se determinar a altura máxima que pode alcançar.
Outro exemplo é se, em uma empresa, os lucros seguirem o padrão de uma equação quadrática. Assim, pode-se saber quando os lucros vão atingir/atingiram lucro máximo (se os lucros estiveram aumentando), e o que fazer para não decair.
Para maiores dúvidas sobre esse desenvolvendo, entre em contato para tirar suas dúvidas. Na sessão Aplicativos tem uma calculadora de Equação do 2º Grau, que usa a fórmula de Bhaskara para calcular. Aproveite!

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Educação Matemática

Posted by Wesley Marcos on 20:00 in
Como professor, tenho me deparado com muitas dificuldades relativas à aprendizagem Matemática. Na maioria das vezes, tais dificuldades decorrem da apatia, desprezo, medo, e vários outros motivos. Simplesmente por não gostar da matéria, os alunos não se esforçam por resolver, ou pelo menos tentar resolver (mesmo errando) a questão. A Matemática está em tudo no nosso cotidiano, e a praticamos constantemente. Tem a parte chata, totalmente teórica, mas que tem um embasamento, um objetivo de ser, e que pode ser resolvida se quebrarmos os esteriótipos que criamos em nossa cabeça.
O objetivo deste Blog é mostrar que a Matemática não é esse "Bicho de sete cabeças", que quer te devorar. Ajudá-lo a resolver as questões, detalhadamente, mostrando principalmente o "Por quê?" que se resolve de um jeito, ou de outro, e "Para que serve?", tentando relacionar os conteúdos ao dia-a-dia.
A finalidade deste Blog não é te ensinar uma questão ou um conteúdo apenas, mas é te ensinar a aprender! É criar um instinto autônomo para resolver qualquer problema! É te dar asas para voar!

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