Gostaria de desejar um Feliz e Santo Natal a todos os meus leitores!

E para que seu natal esteja mais lindo, dou uma dica matemática de como decorar sua árvore de Natal! É isso mesmo... dificuldades em arrumar sua árvore de natal? A matemática ajuda...

Nicole Wrightman e Alex Craig – membros da Sociedade de Matemática na Universidade de Sheffield, Reino Unido – descobriram uma equação matemática que resolve os problemas na decoração de uma árvore de natal.

Em parceria com a rede de lojas Debenhams, os alunos aceitaram o desafio de criar essa fórmula. Segundo o site da Universidade, Nicole disse que “as fórmulas demoraram cerca de duas horas a serem feitas”.

Este projeto contém uma espécie de calculadora (veja link da calc) que, a partir do tamanho da árvore, apresenta os valores necessários para a decoração. Através da altura da árvore, os cálculos mostram quantas bolas serão necessárias, os centímetros da estrela, da fita e das luzes para montar a sua árvore.

Esta fórmula tem sido utilizada nas lojas da Debenhams, de forma a que os clientes escolhem todos os itens necessários para a decoração da sua árvore, de acordo com os cálculos. Nicole Wrightman afirma também no site: “Esperemos que as fórmulas tornem uma preparação mais fácil para o Natal”.

Eis a fórmula:

Assim, podemos concluir que a matemática é uma coisa maravilhosa. Aproveitem!

E mais uma vez: FELIZ NATAL!

Fonte:

http://p3.publico.pt/actualidade/ciencia/5780/dificuldades-em-decorar-arvore-de-natal-matematica-ajuda

http://www.shef.ac.uk/news/nr/debenhams-christmas-tree-formula-1.227810

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Recebi um convite honrado para participar da União dos Blogs de Matemática, uma iniciativa que promove o desenvolvimento e a divulgação de páginas de qualidade sobre o assunto. São ideias como essa, partidas de profissionais interessados, que estimulam o crescimento cultural/educacional do país e ajudam a propagar materiais gratuitos, originais e de alto nível. Agradecemos desde já ao Prof. Paulo Sérgio e aos demais membros da UBM por essa oportunidade. 

Acesse http://ubmatematica.blogspot.com/ para mais informações!

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Do ensinamento puramente útil para a matemática por si mesma

As deficiências da matemática começa-se da cultura pré-helênica, marcada por um ensinamento puramente utilitário. Os papiros continham casos de problemas específicos, ausência de distinções entre resultados exatos e aproximados e não se investigava o resultado, não existia a prova.

Com o declínio da atividade intelectual do Egito e da Mesopotâmia, a cultura grega estava crescendo. Porém os helênicos não tinham tradição matemática ou literária, mas tiveram muita disposição a aprender. Assim, pelas atividades dos mercadores, o ensinamento da matemática e o alfabeto se desenvolveram. E na época de Tales e Pitágoras é onde a matemática começa a ser estudada por si mesma, e não por "utilidade doméstica". Eles aprenderam geometria no Egito, tiveram contato com tabelas e instrumentos astronômicos na Babilônia. A proposição do teorema de Tales foi desenvolvida durante suas viagens à Babilônia. Dessa forma, por tradição, atribui-se uma demonstração do teorema; assim Tales foi concebido como o primeiro matemático "originador da organização dedutiva da geometria". 

Seguidamente temos Pitágoras, considerado um profeta e místico. Ele fundou a escola pitagórica, politicamente conservadora com um código de conduta rígida, com muitos ideais absurdos, mas tinha uma notável característica voltada para os estudos da matemática e filosofia, sendo estes a base moral para a conduta. 

Podemos concluir que o problema dos pioneiros da época é quanto ao registro das descobertas. Chegou até nós pela tradição oral, mas muita coisa torna-se lenda pelo fato de não ter nada registrado especificamente.

Analisando os dias atuais, com avanços de computadores e os meios de comunicação, como a internet, esses registros se tornaram mais seguros, a troca de informações efetivamente mais rápidas, e a análise computacional facilita assim a descoberta de temas extremamente interessantes nos campos das ciências.

by Wesley Marcos e Thiago Henrique

adaptado por Wesley Marcos

Referências Bibliográficas:

• GOMIDE, Elza F. A História da Matemática.2ª Edição. São Paulo, SP. Editora Edgard Blucher LTDA, 1996.
• SPINELLI, Miguel. Filósofos Pré-Socráticos. Primeiros Mestres da Filosofia e da Ciência Grega. 2ª Ed., Porto Alegre: Edipucrs, 2003.
• Site http://pt.wikipedia.org/wiki/Pit%C3%A1goras extraído no dia 17/032010.

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Em resposta à uma questão enviado pelo meu plantão de dúvidas, segue abaixo a resposta...


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Um cubo de madeira com 10cm de aresta está imerso num recipiente que contém óleo e água. A face inferior do cubo está situado 2,0cm abaixo da superfície de separação dos líquidos (água em baixo e óleo em cima). Sendo a densidade do óleo 0,60g/cm³ e a água 1,0g/cm³. Analise as afirmações:

(   ) - O VOLUME IMERSO DO CORPO É DE 800 cm³
(   ) - O EMPUXO PELA ÁGUA VALE 1,6N
(   ) - O EMPUXO EXERCIDO PELO ÓLEO VALE 2N
(   ) - A MASSA DO CUBO VALE 680G
(   ) - A DENSIDADE DO CUBO E 0,68G/CM³
"

Analisando a questão, temos o esquema da seguinte forma:

A primeira informação subentendida que temos é que o corpo está em equilíbrio. Pela lei da física, se um corpo está em equilíbrio em um líquido, a densidade do corpo é igual à densidade do fluído. E ainda podemos afirmar que o peso do corpo é igual ao empuxo, ou seja:

(I) P = E | (II) m . g = d' . g . V' + d'' . g . V'' (P = peso do cubo; E = empuxo total; d' = densidade do óleo; V' = volume deslocado no óleo; d'' = densidade da água; V'' = volume descolado na água).

Fazendo por partes, vamos calcular o volume deslocado no óleo. Neste fluído, o cubo está com 8cm em altura (pois 2cm está na água), 10cm em profundidade e 10cm de largura. Assim, o volume descolocado é:

V' = 8 . 10 . 10 = 800cm³

O cubo na água está com 2m em altura, 10cm em profundidade e 10cm de largura. Assim, o volume descolado na água é:

V'' = 2 . 10 . 10 = 200cm³

Dividindo por g a equação (II) nos dois membros, teremos a equação da seguinte forma:

m  = d' . V' + d'' . V''

Substituindo os valores, teremos:

m = 0,60 . 800 + 1 . 200 | m = 480 + 200 | m = 680g. Assim, teremos a afirmativa:
"( V ) - A MASSA DO CUBO VALE 680G"

Para calcularmos a densidade do corpo, basta usarmos a fórmula de densidade d = m/V (V = volume do corpo; V = 10 . 10 . 10 = 1000cm³):

d = 680g / 1000cm³ | d = 0,68g/cm³. Assim, teremos a afirmativa:
"( V ) - A DENSIDADE DO CUBO E 0,68G/CM³"

Para calcularmos o empuxo da água e do óleo, temos que mudar as unidades da densidade e do volume, para a unidade do empuxo ficar em N. Assim, o empuxo do óleo é:

V = 800cm³ = 0,0008m³ (desloca a vírgula 6 casas para a esquerda)
d' = 0,60g/cm³ = 0,60.10³kg/m³
g = 10 m/s²
Logo, E = 0,60 . 10³ . 10 . 8 . 10^-4 = 4,8N. Assim, teremos a afirmativa:
"( F ) - O EMPUXO EXERCIDO PELO ÓLEO VALE 2N"


O empuxo da água é:

V = 200cm³ = 0,0002m³ (desloca a vírgula 6 casas para a esquerda)
d' = 1g/cm³ = 1.10³kg/m³
g = 10 m/s²
Logo, E = 1 . 10³ . 10 . 2 . 10^-4 = 2N. Assim, teremos a afirmativa:
"( F ) - O EMPUXO EXERCIDO PELO ÁGUA VALE 1,6N"

Finalmente, para a afirmativa:
"( F ) - O VOLUME IMERSO DO CORPO É DE 800 cm³ ", pois o volume imerso é o volume total, ou seja, 1000cm³, ainda porque não afirmou em qual líquido se queria o volume da imersão.

Fonte: http://www.sofisica.com.br/conteudos/Mecanica/EstaticaeHidrostatica/empuxo.php

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Desde a antiguidade, com a criação e utilização de números, os povos foram criando suas próprias unidades de medidas, e portanto, cada um possuía a sua unidade de medida padrão (referência). Para exemplificar este fato, pensemos nas unidades de medidas imperiais: légua, milha, furlong, corrente, rod, jarda, pé, polegada, mil. Tem esse nome porque a medida estava relacionado à alguma coisa do rei ou império, por exemplo, 10 pés de comprimento de um móvel era a medida de 10 pés do próprio rei. Assim foi necessário criar um padrão de medida único, e assim, em 1791, época da Revolução Francesa, criou-se o SISTEMA MÉTRICO DECIMAL.

O Sistema Métrico Decimal tem como unidade padrão/referência o Metro, que vem do grego métron e significa "o que mede". No Brasil o metro foi adotado oficialmente em 1928. A partir do metro, temos seus múltiplos e submúltiplos, cujos nomes são formados com o uso dos prefixos: quilo, hecto, deca, deci, centi e mili. Abaixo uma tabela referência para relacionar, a partir do metro, o kilômetro, centímetro, etc.

Daí vem uma pergunta: Por que devo converter a unidade de medida? O principal motivo é facilitar a escrita numérica, que significa escrever 10km ao invés de 10.000m, ou talvez escrever 1m ao invés de 1000mm.

Agora vamos entender a tabela. Como pode-se notar, o km, hm e dam são múltiplos do metro. O decâmetro é 10x (10 vezes) mais que o metro; o hectômetro é 100x (100 vezes) mais que o metro; e o quilômetro é 1000x (1000 vezes) mais que o metro. Assim, você pode fazer uma regra de três simples para converter as unidades, ou pensar em questão de múltiplos. Por exemplo, você tem um terreno que tem de um lado 1,5km. Se o kilômetro é 1000x mais que o 1 metro, então multiplicando 1,5x1000 = 1500m, e portanto 1,5km é 1500m. Na prática, você anda com a vírgula 3 casas para direita:

Nota: zeros à direita da vírgula não valem nada. Portanto pode ficar subentendido.


Outro exemplo, de forma contrária: você tem um móvel de 17,51m. Se 1 metro é 10x menos que o metro, então dividimos 17,51/10 = 1,751dam, e portanto 17,51m é 1,751dam.

Também podemos relacionar quilômetro com hectômetro, hectômetro com decâmetro, etc. De forma análoga, fazemos essas transformações com os submúltiplos do metro.

Depois de entendido como funciona e qual a relação das unidades do Sistema Métrico Decimal entre si, podemos pensar de forma mais prática. Temos o seguinte esquema:

Assim, primeiro você deve olhar qual a sua unidade (se ela está em km, hm, cm, etc). Depois para qual unidade quer transformar. A grosso modo, se você "vai para direita", então você multiplica x10 quantos "quadrados" andar (ou ainda, desloca-se a vírgula para direita quantos quadrados andar), e se você "vai para esquerda", você divide :10 quantos "quadrados" andar (ou ainda, desloca-se a vírgula para esquerda quantos quadrados andar).

Por exemplo:
Transformar 15,53hm para cm. Assim, vamos deslocar 4 quadrados para a direita. Portanto, você multiplica 15,53x10x10x10x10 = 15,53x10000 = 155300cm. Dessa forma, eu andei com a vírgula quatro casas para direita.

163059,8745mm para km. Assim, vamos deslocar 6 quadrados para esquerda. Portanto, você divide 163059,8745/1000000 = 0,1630598745km. Dessa forma, eu andei 6 casas com a vírgula para esquerda, e foi necessário colocar o zero para completar, já que não tinha mais unidade para a esquerda.

Para finalizar, esses são os múltiplos e submúltiplos mais comuns. Temos ainda:

Múltiplos do metro:

• yottametro (Ym): 10²⁴ metros.
• zettametro (Zm): 10²¹ metros.
• exametro (Em): 10¹⁸ metros.
• petametro (Pm): 10¹⁵ metros.
• terametro (Tm): 10¹² metros.
• gigametro (Gm): 10⁹ metros.
• megametro (Mm): 10⁶ metros.
• quilômetro (km): 10³ metros.
• hectômetro (hm): 10² metros.
• decâmetro (dam): 10 metros.

• metro: Unidade básica do sistema internacional de unidades.

Submúltiplos do metro:

• decímetro (dm): 10^-1 metros.
• centímetro (cm): 10^-2 metros.
• milímetro (mm): 10^-3 metros.
• micrômetro (µm): 10^-6 metros.
• nanômetro (nm): 10^-9 metros.
• picômetro (pm): 10^-12 metros.
• femtômetro (fm): 10^-15 metros.
• attômetro (am): 10^-18 metros.
• zeptômetro (zm): 10^-21 metros.
• yoctômetro (ym): 10^-24 metros.

Quem ainda tiver dúvidas a respeito dessas transformações, pode entrar em contato comigo! Não deixe a dúvida te perturbar. Estou a inteira disposição para sanar suas dúvidas matemáticas.

P.S.: ainda tem transformações de metros quadrados e metros cúbicos, que postarei em outra oportunidade.

Referência:

www.somatematica.com.br

pt.wikipedia.org

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O Xadrez é muito interessante, a começar pela sua história, e de como foi criado. É claro que existem diversas versões. Mas em se tratando de ensino da Matemática, prefiro este seguinte conto:
"Numa província indiana chamada Taligana havia um poderoso rajá que havia perdido o filho em batalha. O rajá estava em constante depressão e passou a descuidar-se de si e do reino.
Certo dia o rajá foi visitado por Sessa, que apresentou ao rajá um tabuleiro com 64 casas brancas e negras com diversas peças que representava a infantaria, a cavalaria, os carros de combate, os condutores de elefantes, o principal vizir e o próprio rajá. Sessa explicou que a prática do jogo daria conforto espiritual ao rajá, que finalmente encontraria a cura para a sua depressão, o que realmente ocorreu.
O rajá, agradecido, insistiu para que Sessa aceitasse uma recompensa por sua invenção e o brâmane pediu simplesmente um grão de trigo para a primeira casa do tabuleiro, dois para a segunda, quatro para a terceira, oito para a quarta e assim sucessivamente até a última casa. Espantado com a modéstia do pedido, o rajá ordenou que fosse pago imediatamente a quantia em grãos que fora pedida.
Depois que foram feitos os cálculos, os sábios do rajá ficaram atônitos com o resultado que a quantidade grãos havia atingido, pois, segundo eles, toda a safra do reino durante 2.000 anos não seriam suficientes para cobri-la. Impressionado com a inteligência do brâmane, o rajá o convidou para ser o principal vizir do reino, sendo perdoado por Sessa de sua grande dívida em trigo."
É interessante, porque com esta história, pelo o que o Sessa pediu, pode-se apresentar potenciação para o aluno, ou função exponencial. Em resumo, ele pediu 2 grãos para a primeira casa, 2² para a segunda casa, 2³ para a terceira casa, e assim por diante. No final, a soma disso tudo dá 18.446.744.073.709.551.616 grãos.
Isso é só uma amostra que o xadrez pode proporcionar, além da evolução natural do raciocínio lógico. Ainda pode-se trabalhar muitas coisas, como geometria plana. Apesar do tabuleiro ter quadrados, o caminho que uma peça percorrer, por exemplo, pode ser a de um triângulo.
Então, devemos considerar o jogo de Xadrez nas escolas, e nas aulas de Matemática! Além de lúdico, desenvolve a aprendizagem.

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Quem conhece o famoso Bhaskara? Penso que todo mundo o conhece, ou pelo menos tenha o ouvido falar, pois a sua fórmula é conteúdo obrigatório na grade curricular de Matemática, para achar os valores de X em uma equação do 2° Grau. A dificuldade dos alunos e a falta de interesse em Matemática se dá em parte pelo ensino das Equações Polinomiais, em especial pela Equação do 2° Grau, pois acaba por se tornar muito teórica.

O interessante é que Bhaskara não descobriu ou desenvolveu esta fórmula. Na verdade, as fórmulas surgem na Matemática 400 anos depois da sua morte, e portanto, a fórmula não é dele! Na sua época, e possivelmente muito antes, os indianos usavam regras ("descrição por extenso dos procedimentos para resolver um problema") em forma de poesias, que iam descrevendo as operações a realizar. Em 500 d.c., Aryabhata e alguns indianos usavam a seguinte expressão para Equação do Segundo Grau:

"Multiplique ambos os membros da equação pelo número que vale quatro vezes o coeficiente do quadrado e some a eles um número igual ao quadrado do coeficiente original da incógnita. A solução desejada é a raiz quadrada disso".

Quem "descobriu" (coloco entre aspas pois, como disse, as notações surgiram 400 anos após a morte de Bhaskara) a fórmula foi Sridhara, 100 anos antes de Bhaskara. Portanto, já era do seu conhecimento, e ele contribuiu mesmo com a matemática foi com as equações indeterminadas do 2° Grau.

Da poesia acima ("Multiplique ambos os membros..."), o fundamento usado para obter esta fórmula foi buscar uma forma de reduzir a equação do segundo grau a uma do primeiro grau, através da extração de raízes quadradas de ambos os membros da mesma. Isso ajuda a entender a "cara" da tal equação. Quem decorou a fórmula, sabe que "X é igual a menos b mais ou menos raiz quadrada de b ao quadrado menos quatro vezes a vezes c e tudo dividido por dois a". Bom, para entender melhor, vamos passo a passo.

Comecemos pela definição. Seja a equação ax² + bx + c = 0, com x pertence ao conjunto do números reais.

Agora, se dividirmos toda a equação por a (não nulo), teremos:

x² + (b/a)x + (c/a) = 0 -----> x² + (b/a)x = - (c/a).

Antes de continuar, devemos lembrar que equação é como uma balança de peso (daquelas antigas). O que tem à esquerda da igualdade é igual ao que tem à direita da igualdade. Assim, podemos somar à esquerda e à direita qualquer coisa (sendo a mesma coisa em ambos os lado), que não alterará a equação, ou seja, a igualdade da equação. Assim, podemos somar (b/2a)² em ambos os membros:

x² + (b/a)x + (b/2a)² = -c/a + (b/2a)².

Fizemos isso para se obter do lado esquerdo um quadrado perfeito (para mais detalhes, entre em contato).

Assim, desenvolvendo o 2° membro da equação, e fazendo o quadrado perfeito no lado esquerdo (1° membro), teremos:

[x+(b/2a)]² = (b² - 4ac) / 4a²

Agora, tirando a raiz quadrada em ambos os membros da equação, teremos (nota: R[.....] é raiz quadrada):

x + (b/2a) = +R[(b²-4ac) / 4a²] ou x + (b/2a) = -R[(b²-4ac) / 4a²]. Desenvolvendo, teremos:

Mas no final das contas, você deve estar se perguntando: Para que serve Equação do 2° Grau?

Pois bem, analisando seu resultado no gráfico (as equações e funções são estudados pelos gráficos, e vice-versa), pode ser aplicado em várias fatos. O lançamento de um projétil (bala de canhão) descreve o trajeto de uma equação do segundo grau. Assim, dependendo do ângulo que fizer, pode-se saber aonde a bala vai cair. Neste caso, da onde a bala sai é um dos resultados da equação, e aonde ela cai, é o outro resultado de X. E ainda, como a equação descreve uma parábola, pode-se determinar a altura máxima que pode alcançar.

Outro exemplo é se, em uma empresa, os lucros seguirem o padrão de uma equação quadrática. Assim, pode-se saber quando os lucros vão atingir/atingiram lucro máximo (se os lucros estiveram aumentando), e o que fazer para não decair.

Para maiores dúvidas sobre esse desenvolvendo, entre em contato para tirar suas dúvidas. Na sessão Aplicativos tem uma calculadora de Equação do 2º Grau, que usa a fórmula de Bhaskara para calcular. Aproveite!

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Como professor, tenho me deparado com muitas dificuldades relativas à aprendizagem Matemática. Na maioria das vezes, tais dificuldades decorrem da apatia, desprezo, medo, e vários outros motivos. Simplesmente por não gostar da matéria, os alunos não se esforçam por resolver, ou pelo menos tentar resolver (mesmo errando) a questão. A Matemática está em tudo no nosso cotidiano, e a praticamos constantemente. Tem a parte chata, totalmente teórica, mas que tem um embasamento, um objetivo de ser, e que pode ser resolvida se quebrarmos os esteriótipos que criamos em nossa cabeça.

O objetivo deste Blog é mostrar que a Matemática não é esse "Bicho de sete cabeças", que quer te devorar. Ajudá-lo a resolver as questões, detalhadamente, mostrando principalmente o "Por quê?" que se resolve de um jeito, ou de outro, e "Para que serve?", tentando relacionar os conteúdos ao dia-a-dia.

A finalidade deste Blog não é te ensinar uma questão ou um conteúdo apenas, mas é te ensinar a aprender! É criar um instinto autônomo para resolver qualquer problema! É te dar asas para voar!

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